151115 初版 151115 更新
放物線 ① \(y=x^2+4x+5\)
放物線 ② \(y=x^2-4x+5\)
① の頂点は (-2, 1),
② の頂点は (2, 1) である。
② の頂点は ① の頂点を，
y 軸に関して対称移動 … ③ した点である。
また，点(-1, 2) は ① 上にあり，
それを ③ 移動した点(1, 2) は 放物線 ② 上にある。
放物線 ① 上の任意の点 A(a, b) を
③ 移動した 点 A'(a', b') は，
必ず 放物線 ② 上にあることが，
次のようにして示される。
\(b = a^2+4a+5\) … ④
\(a^\prime = -a\) … ⑤,
\(b^\prime = b\) … ⑥
\({a^\prime}^2-4a^\prime+5\)
\(=(-a)^2-4(-a)+5\) (⑤ を用いた)
\(=a^2+4a+5=b\) (④ を用いた)
\(=b^\prime\) (⑥ を用いた)
つまり，\(b^\prime={a^\prime}^2-4a^\prime+5\)
よって，点 A' は 放物線 ② 上にあることが示された。
したがって，放物線 ② は 放物線 ① を
y軸 に関して対称移動した曲線である。
放物線 ① \(y=x^2+4x+5\)を
y軸 に関して対称移動 … ③ した曲線とする。
放物線 ④ の方程式を求めたい。
放物線 ④ 上の点 (x, y) の満たすべき，
x, y の関係式を求めるということである。
設定から ④ 上の点 (x, y) を
y軸 に関して対称移動した点 (x', y') は
① 上の点である。
すなわち，\(y^\prime={x^\prime}^2-4x^\prime+5\)
ところで，\(x^\prime=-x\), \(y^\prime=y\) だから，
\(y=(-x)^2-4(-x)+5\)
つまり，① の方程式の，
x を -x に (y はそのまま) 置き換えればよい。