120921の問題について

2年理数科の諸君の数学はいい感じだな。普通科にはがんばってもらいたい。理数科の諸君は英語をがんばってもらいたい。

さて，
\(f(x)=3\cdot 4^x-2^{x+3}\) という式を見たとき，何をしたくなるか。
まあ，微分は使わないとする。
\(x\)が大きくなるとき，第1項は増加，第2項は減少だから，項を纏めたい。ということは2次式の平方完成か。

\(4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2\), \(2^{x+3}=2^x\cdot 2^3=8\cdot 2^x\)

これを使う。
この部分は指数関数の仕事である。

\(f(x)=3\cdot 4^x-2^{x+3}\) \(=3\cdot 2^{2x}-8\cdot 2^x\)

この2項に 2次式の平方完成を適用して

\(f(x)=3\cdot 4^x-2^{x+3}\) \(=3\cdot 2^{2x}-8\cdot 2^x\) \(=3\left(2^x-\dfrac{4}{3}\right)^2-\dfrac{16}{3}\)

ここで，\(0\leqq x\leqq 1\)より，\(1\leqq 2^x\leqq 2\)
この部分は指数関数の仕事である。
さらにこのとき，\(0\leqq 3\left(2^x-\dfrac{4}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{4}{3}\)

したがって，\(0\leqq x\leqq 1\)のとき，\(f(x)\)は
\(x=1\)で最大値\(-4\), \(x=2-\log_23\)で最小値\(-\dfrac{16}{3}\)をとる

最後の部分は\(2^x=\dfrac{4}{3}\)なので，対数関数の仕事である。

次に，\(\log_2 x+\log_2y\)の最大値という問題を見てみよう。
対数の問題では大前提がある。それは真数は正の数だという絶対的な前提である。この問題は一見不要なようだが，あとでみてみることにする。

まず，\(x>0\)かつ\(y>0\)…☆が前提である。
\(x+2y=8\)という関係式がある。
これは\(x\)と\(y\)は勝手には動けないように，互いを束縛している。
自由度は実質1文字で，この場合，\(x=8-2y\)とする。
☆より， \( 0 < y < 4 \)である。

\(xy=(8-2y)y=-2y^2+8y=-2(y-2)^2+8\)
\(\log_2x+\log_2y=\log_2xy\)
\(0 < y < 4\)だから，
\((x,y)=(4,2)\)で最大値3をとる。

これで☆のない答案はどうだろうか。
それは\(xy\)の最大値が8である保障がなくなってしまう。
\(y\)に制限がなければ確かに最大値は8なのだが， \( 3 < y <4\)だったりすれば\( 0 < xy < 6\)となってしまう。
厳しくいうと必要なのである。