方程式のガロア群 3

　多少時間的に前後するのですが， 2014年のセンター試験の話題です。数学I・Aの第1問

　みなさんはこの問題をどうとらえたでしょうか。サ～ソに入れさせるための変形は，TDN (ただの) 消去です。彼らと関わっていた私にはサ～ソは a についての4次方程式に見えました。 a, b の満たすべき 4次方程式を導いている問題なのです。 TDN計算ではなく，背景，ストーリーがあるようです。当時3年の担任であった私は当然この問題をみたわけですが，課題研究をしている彼らに，a, b はこの4次方程式の根ということだろう，と問題の見方を紹介してじゃあガロア群は何? と問いかけました。クラインの四元群じゃないでしょうか　と答えてきました。 1月時点で彼らの学習・研究はそこまで辿り着いていました。彼らは，それが気に入ったのか， 4月の校内発表会でも，8月のマスフェスタでもこの問題について一言触れていました。

　この4次方程式 \(x^4+4x^3-16x^2+8x+4=0\) を「ガロアの方法」によって解いてみます。
ガロアは主著によって，4次方程式が解ける理由を述べています。それを彌永先生が具体的に解説しています。高木先生も代数学講義で次の解法を紹介していますし，私の師匠も例のプリントで「新解法」としています。
4次方程式の根を x₁, x₂, x₃, x₄ として， y₁, y₂, y₃ を，
\(y_1=x_1x_2+x_3x_4\), \(y_2=x_1x_3+x_2x_4\), \(y_3=x_1x_4+x_2x_3\)
とおきます。
y_i それぞれはクラインの四元群 V = {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} で不変なことに注意してください。でも，例えば y₁ は (2 3) によって， y₂ に移りますから，S₄ では不変ではありません。寺田先生の群論の講義で，受け身でぼんやりしていたときにあてられて戸惑ったことがあります。抽象的なことは手を動かして計算してみて身に付きます。手を動かしてみなければ理解できないということを実感しました。彼らもよく分かったことですし，今2年生にベクトルの授業をやっているところですが，まずは計算だといっています。「何はなくとも計算力」　というのを標語のようにつぶやき続けていますが，手を動かす，計算するということは，数学が分かるようになる初めの一歩のようです。

\(x_1+x_2+x_3+x_4=a_1\), \(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=a_2\), \(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=a_3\), \(x_1x_2x_3x_4=a_4\)
とおきます。根と係数の関係から x₁ たちは
4次方程式 \(x^4-a_1x^3+a_2x^2-a_3x+a_4=0\) の根になります。
\(b_1=y_1+y_2+y_3\), \(b_2=y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1\), \(b_3=y_1y_2y_3\) を考えます。
b₁ たちはそれぞれ展開すると x_i の S₄ の作用で不変になります。つまり，基本対称式 a₁ たちで書くことができます。
実際， \(b_1=a_2\), \(b_2=a_1a_3-4a_4\), \(b_3={a_3}^2+{a_1}^2a_4-4a_2a_4\)
彌永先生の本に答えが書いてありますが，実際に手を動かしてみたいところです。置換，対称の様子がよくわかります。ほんと，学生時代にあまり手を動かさなかったのを後悔しています。というか，確かに，手を動かしたことしか身についていません。彼らは，5次方程式でこれに相当する対称式の計算をやったのです。コンピュータの力は借りたようですが。私も検算するために，自分でプログラムを組んで対称式の計算をほんの少しやりました。 4次では手計算でもできますが， 5次でやるとあまりに膨大で時間がない (Je n'ai pas le temps. ちゃんと私の師匠はガロア理論の講義でつぶやいてくれました。日本語でしたけど。) ためほんの少しの項しかできませんでしたが，それでも彼らのタイプミスを見つけました。

　さて，私たちの方程式は， \((a_1,a_2,a_3,a_4)=(-4,-16,-8,4)\) でしたから，
\((b_1,b_2,b_3)=(-16,16,16\cdot 24)\)
すなわち， y₁ たちは， \(y^3+16y^2+16y-16\cdot 24=0\) の根になります。
これは， 4, -8, -12 という有理数(!)の根をもちます。
このことは，この方程式のガロア群がクラインの四元群だということを物語っています。