131116 初版 131116 更新
0 ≦ θ < 2π において，
等式 \(\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\theta\)
を満たす θ を求めよう。
イメージとしては，この図である。
方程式を解く基本は，同じ土俵にのせることである。
\(\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\) (余角の公式)
を使って，右辺を書き換えると
\(\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)
同じ土俵に乗せたので，
次に，
sin α = sin β の一部を用いて
周期性から，
\(\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)-\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=2n\pi\) … ① (n は整数)
また，
\(\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)\) (直交性)
を使って，右辺を書き換えると
\(\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)\)
同じ土俵に乗せたので，
次に，
sin α = sin β の一部を用いて
周期性から，
\(\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)-\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=2n\pi\) … ② (n は整数)
後は計算
①より \(\theta = \dfrac{12n+1}{18}\pi\)
②より \(\theta = \dfrac{\pi}{6}+2n\pi\)
まず，一般解を求めたほうが楽な気がする。
0 ≦ θ < 2π の中では，
\(\theta = \dfrac{\pi}{18},
\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{13}{18}\pi,
\dfrac{25}{18}\pi\)