一般項 \(a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}\) である数列について、 \(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n a_k}\) を求める際に、
恒等式 \(a_k=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\) において、
k を 1 から n まで走らせた n 本の等式の、両辺それぞれ足しあげるという 有名な手法がある。

\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n a_k}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k+1}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{1}{k}}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)