131101 番号振替えの原理 2

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131026 初版 131026 更新

数列 {a_n} に対して、

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=2}^{n+1} a_{k-1}}$ … ④

を番号振替えの原理と呼ぶことにする。

一般項 a_n = n • 3^n-1 である数列について、

$\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n a_k}$ を求める際に、
教科書のようなやり方もマスターしなければならないが、

番号振替えの原理を使うと

$\displaystyle{3S=\sum_{k=1}^n k\cdot 3^k}$

$\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)\cdot 3^{k-1}}$

$\displaystyle{=\sum_{k=1}^n (k-1)\cdot 3^{k-1}}+n\cdot 3^n$

$\displaystyle{=S-\sum_{k=1}^n 3^{k-1}+n\cdot 3^n}$

$2S=-\dfrac{3^n-1}{2}+n\cdot 3^n$

$S=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^n+1}{4}$

慣れると、あまり書かないのでスペースも時間も使わない。
さらに上を狙う生徒にはお勧めだと思っている。