160518 有理数のn進法表示

　はじめに，負のべきを考えておきます。
2, 4, 8, 16, … のように， 2を初項として，2倍した数を右隣りに書くということを繰り返して数列を作ります。ある項の右隣りは2倍した数，ある項の左隣りは

$\dfrac{1}{2}$ 倍した数です。
この点に注目して，この数列を 2 より左に拡張します。
…,

$\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},$ 1, 2, 4, 8, 16, …
このように，

$2^0=1$ ,

$2^{-1}=\dfrac{1}{2}$ ,

$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$ ,

$2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ と 0以下の整数についても指数を定義します。
　一般に正の数 a に対して，

$a^0=1$ ,

$a^{-1}=\dfrac{1}{a}$ ,
n を自然数として，

$a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n = \dfrac{1}{a^n}$
　こうすると，整数m, n に対して，指数法則が成立します。
a^m・aⁿ = a^m+n, a^m÷aⁿ = a^m-n, (ab)ⁿ = aⁿ・bⁿ

$\alpha=\dfrac{17}{7}$ のn 進法表示を考えたいと思います。まず，2 < α < 3 に注目します。この 2 はα の整数部分と呼ばれています。「はした」の部分，α - 2 はα の小数部分と呼ばれています。小数部分は具体的には

$\dfrac{3}{7}$ です。
一般に，任意の有理数 α に対して，隣り合う2つの整数 n, n+1 で，

$n\leqq\alpha\lt n+1$ なるn があります。この n を整数部分と呼ぶのです。小数部分は α - n となります。
　小数部分の10進数表示を，10進小数展開あるいは小数表示と呼ぶことにします。

$\dfrac{3}{7}$ の10進小数展開を求めてみましょう。
0 と 1 の間を10等分すると，

$\dfrac{28}{70}\lt \dfrac{30}{70}\lt\dfrac{35}{70}$ より，

$\dfrac{4}{10}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{5}{10}$ であることがわかります。

$\dfrac{4}{10}$ と

$\dfrac{5}{10}$ の間を10等分すると，

$\dfrac{294}{700}\lt \dfrac{300}{700}\lt\dfrac{301}{700}$ より，

$\dfrac{42}{100}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{43}{100}$ であることがわかります。

$\dfrac{42}{100}$ と

$\dfrac{43}{100}$ の間を10等分すると，

$\dfrac{2996}{7000}\lt \dfrac{3000}{7000}\lt\dfrac{3003}{7000}$ より，

$\dfrac{428}{1000}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{429}{1000}$ であることがわかります。
このようにして， 1未満の正の数 a に対して，a = a₁・10^-1 + a₂・10^-2 + a₃・10^-3 + … なる数列a₁, a₂, a₃, … が一意に定まります。 a_k を小数第k 位の数といいます。それぞれの a_k は 0 から 9 までの自然数です。 (

$\displaystyle{a=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot 10^{-k}}$ )
a_k たちの求め方は，筆算では，

		0.	4	2	8
7	)	3	0
		2	8
			2	0
			1	4
				6	0
				5	6
					4

と書かれます。

$\dfrac{3}{7}=0.42857142\cdots$

　a_k たちの求め方は，次のように表すことができます。

k	a	a_k	7・a_k	r_k
1	30	4	28	2
2	20	2	14	6
3	60	8	56	4
4	40	5	35	5
5	50	7	49	1
6	10	1	7	3
7	30	4	28	2
8	20	2	14	6

　10進小数展開とは，1に満たない「はした」の部分は， 10等分したときのどの区分に入るかをみているのです。また，はしたが出たら，その区分をさらに10等分するそれを繰り返していきます。 r_k の列は，a を 7 で割った余りです。それを 10 倍して，7で割った商と余りを求めています。 r_k は 3・10^k を 7で割った余りです。
数列 {r_n}: 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, …
は，初項 30, 公比 10 の等比数列を 7を法としてみた数列です。一般に，有理数の小数展開で現れるこの数列 {r_n} は 0 が現れるかまたは繰り返しをもちます。分母を b としたとき，0 から b - 1 までの整数しか出てきませんので，長くても b 項のうちには同じ数が出てくるからです。したがって，数列 {a_n} もどこかで終わるか(どこかから先はずっと0) または繰り返しをもちます。
繰り返しをもつ小数を，循環小数と呼び，繰り返しの単位を循環節ということにします。

　循環節123 の循環小数 x = 0.123123123… は有理数でしょうか。
1000x = 123.123123123… ですから，x と 1000x は小数部分は完全に一致します。したがって，1000x - x は整数 123 となります。よって，x =

$\dfrac{123}{999}$ すなわち， x は有理数

$\dfrac{41}{333}$ です。
　このように，一般に循環小数は有理数となります。ところが，α = 0.110100010000000100…, 小数第n位は n = 2^k-1 なる自然数 k をもつとき 1, それ以外は 0, すなわち，α =

$\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty10^{-2^{k-1}}}$ のように，循環しない小数表示をもつ数を作ることができます。有理数(rational number) は有限小数または循環小数ですから，有限小数でもないかつ循環小数でもない数は有理数ではありません。このような数は無理数と呼ばれています。

　有理数全体の集合

$\mathbb{Q}$ と無理数全体の集合の共通部分は空集合です。有理数の集合と無理数の集合を互いに補集合とみて，和集合を実数と呼んでいます。

$\dfrac{3}{7}$ の5進小数展開を求めてみましょう。
0 と 1 の間を5等分すると，

$\dfrac{14}{35}\lt \dfrac{15}{35}\lt\dfrac{21}{35}$ より，

$\dfrac{2}{5}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{3}{5}$ であることがわかります。

$\dfrac{2}{5}$ と

$\dfrac{3}{5}$ の間を5等分すると，

$\dfrac{70}{175}\lt \dfrac{75}{175}\lt\dfrac{77}{175}$ より，

$\dfrac{10}{25}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{11}{25}$ であることがわかります。

$\dfrac{10}{25}$ と

$\dfrac{11}{25}$ の間を5等分すると，

$\dfrac{371}{875}\lt \dfrac{375}{875}\lt\dfrac{378}{875}$ より，

$\dfrac{53}{125}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{54}{125}$ であることがわかります。
このようにして， 1未満の正の数 a に対して，a = a₁・5^-1 + a₂・5^-2 + a₃・5^-3 + … なる数列a₁, a₂, a₃, … が一意に定まります。それぞれの a_k は 0 から 4 までの自然数です。 (

$\displaystyle{a=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot 5^{-k}}$ )

　a_k たちの求め方は，次のように表すことができます。

k	a	a_k	7・a_k	r_k
1	15	2	14	1
2	5	0	0	5
3	25	3	21	4
4	20	2	14	6
5	30	4	28	2
6	10	1	7	3
7	15	2	14	1
8	5	0	0	5

$\dfrac{3}{7}=0.20324120\cdots{}_{(5)}$ 循環節の長さ 6 の小数展開をもちます。

$\dfrac{3}{7}$ の2進小数展開を求めてみましょう。
0 と 1 の間を2等分すると，

$\dfrac{0}{14}\lt \dfrac{6}{14}\lt\dfrac{7}{14}$ より，

$0\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{1}{2}$ であることがわかります。
0 と

$\dfrac{1}{2}$ の間を2等分すると，

$\dfrac{7}{28}\lt \dfrac{12}{28}\lt\dfrac{14}{28}$ より，

$\dfrac{1}{4}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{2}{4}$ であることがわかります。

$\dfrac{1}{4}$ と

$\dfrac{2}{4}$ の間を2等分すると，

$\dfrac{14}{56}\lt \dfrac{24}{56}\lt\dfrac{28}{56}$ より，

$\dfrac{3}{8}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{4}{8}$ であることがわかります。
このようにして， 1未満の正の数 a に対して，a = a₁・2^-1 + a₂・2^-2 + a₃・2^-3 + … なる数列a₁, a₂, a₃, … が一意に定まります。それぞれの a_k は 0 から 1 までの自然数です。 (

$\displaystyle{a=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot 2^{-k}}$ )

　a_k たちの求め方は，次のように表すことができます。

k	a	a_k	7・a_k	r_k
1	6	0	0	6
2	12	1	7	5
3	10	1	7	3
4	6	0	0	6
5	12	1	7	5
6	10	1	7	3
7	6	0	0	6
8	12	1	7	5

$\dfrac{3}{7}=0.01101101\cdots{}_{(2)}$ 循環節の長さ 3 の小数展開をもちます。
　分母が7 である有理数は，どんな数n を基数にしても n進小数展開は循環するならば，節の長さは6の約数になります。初等整数論の興味深い帰結の一つです。