不定積分

f(x) = 2x² とします。
曲線 y = f(x) と x 軸， 2点 (a, 0), (a, f(a)) を結ぶ線分 L_a, 2点 (x, 0), (x, f(x)) を結ぶ線分 L_x で 囲まれた部分の面積 S(x) を求めたいと思います。

自然数 n に対して， \(x_0=a\), \(x_k=a+k\varDelta x\) (k=1, 2, 3, … n) とします。 ここで，\(\varDelta x = \dfrac{x-a}{n}\)
\(\displaystyle{S_1(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\varDelta x}\),   \(\displaystyle{S_2(x)=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\varDelta x}\)  とおきます。今の場合
Δx > 0 とすると，
今の場合， 0 と Δx の間の 任意の h に対して，
f(x) < f(x + h) < f(x+ Δx) が成り立つので，
\(S_1(x)\lt S(x) \lt S_2(x)\) が成り立ちます。

ニュートン・ライプニッツの定理によって， この重みつき和 S(x) を x で微分すると f(x) となります。

微分して f(x) となる関数を f(x) の原始関数と呼びます。
S(x) を原始関数とすると， 任意の定数 C に対して，
(S(x) + C)' = f(x) ですから，S(x) + C も原始関数です。
原始関数の族を，不定積分と呼ぶことにして，
\(\int f(x) dx\) とかくことにします。

\(\left(\dfrac{2}{3}x^3\right)^\prime = 2x^2\)
よって，\(S(x)=\int 2x^2 dx = \dfrac{2}{3}x^3+C\), \(S(a)=0\)
したがって，\(S(x)=\dfrac{2}{3}(x^3-a^3)\)