定積分

任意の x に対して f(x) は 正の数であるとします。
曲線 y = f(x) と x 軸， 2点 (a, 0), (a, f(a)) を結ぶ線分 L_a, 2点 (x, 0), (x, f(x)) を結ぶ線分 L_x で 囲まれた部分の面積を F(x) とします。

F(x) は f(x) の 不定積分の一つですから，
\(F(x)=\int f(x) dx\)， また，F(a) = 0 です。

曲線 y = f(x) と x 軸， 2点 (a, 0), (a, f(a)) を結ぶ線分 L_a, 2点 (b, 0), (b, f(b)) を結ぶ線分 L_b で 囲まれた部分の面積を S とします。
S を \(\displaystyle{\int_a^bf(x) dx}\) とかくことにします。
上の話から，\(\displaystyle{\int_a^bf(x) dx = F(b)-F(a)}\)
また，\(F(b)-F(a)\) を \(\left[F(x)\right]_a^b\) とかくことにしています。

定積分 \(\displaystyle{\int_a^bf(x) dx}\) は，
x = a から b までの f(x) の重みつき和と理解するのがよいでしょう。
すなわち，
自然数 n に対して， \(x_0=a\), \(x_k=a+k\varDelta x\) (k=1, 2, 3, … n) とします。 ここで，\(\varDelta x = \dfrac{b-a}{n}\)
\(\displaystyle{\int_a^bf(x) dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\varDelta x}\)

ニュートン・ライプニッツの定理は
\(\displaystyle{\dfrac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)}\)
とかかれます。