整式の積 \((3x+1)(x-2)\) を展開すると \(3x^2-5x-2\) である。
逆にみると，\(3x^2-5x-2\) は \((3x+1)(x-2)\) と積に分解できるといえる。
\(3x^2-5x-2\) は \(3x+1\) の倍数であるという。
\(3x^2-5x-2\) は \(x-2\) の倍数である。
\(3x+1\) は \(3x^2-5x-2\) の約数であるという。
\(x-2\) は \(3x^2-5x-2\) の約数である。
\(3x^2-5x=(3x+1)(x-2)+2\)
\(3x^2-5x\) を \(3x+1\) で割ると 商が \(x-2\) で余りは 2 であるという。
\(x^3-x^2-x-2=(x^2+x+1)(x-2)\)
\(x^3-x^2-x-2\) は \(x^2+x+1\) の倍数である。
\(x^3-x^2-x-2\) は \(x^2+x+1\) を因数にもつ。
\(x^3-x^2+x-1=(x^2+x+1)(x-2)+2x+1\)
\(x^3-x^2+x-1\) を \(x^2+x+1\) で割ると 商が \(x-2\) で余りは \(2x+1\) である。
一般に A を B で割るということは，
A - BQ = R を満たす Q, R を見つけることである。
ここで， R は 定数であるか，B より次数の低い式である。
A, B に対して， A = BQ + R を満たす Q, R はただ１つしかない。
(一意に定まるという。)
実際，
\(A=BQ+R\), \(A=BQ^\prime+R^\prime\) と2通りに表されたとする。
\(BQ+R=BQ^\prime+R^\prime\)
⇔
\(B(Q-Q^\prime)=-R+R^\prime\)
これは， \(-R+R^\prime\) が B の倍数であることを意味している。
R の決め方から， \(-R+R^\prime\) は Bより次数が低い式であるから， 0 である。
i.e. \(R=R^\prime\)
したがって，\(Q=Q^\prime\)