逐次・帰納的な考えがでてくるので，
数列のあとに学ぶのがよいのかもしれないし，
逆に，逐次・帰納的な考えはプリミティブな思想だから，
できるだけ早い時期からスパイラルに学んでいくほうがよい。
例1 いわゆる 開平法 (10進)
\(\sqrt{2}\) = 1.4142 …
\((a+b)^2=a^2+(2a+b)b\) を用いている。
| n |
\((10a_{n-1})^2\) |
\(10\cdot 2a_{n-1}\) |
\((10\cdot 2a_{n-1}+q_n)q_n\) |
余り |
\(a_n=10a_{n-1}+q_n\) |
| 1 |
100 |
20 |
96 |
4 |
14 |
| 2 |
19600 |
280 |
281 |
119 |
141 |
| 3 |
1988100 |
2820 |
11296 |
604 |
1414 |
| 4 |
199939600 |
28280 |
56564 |
3836 |
14142 |
例2 いわゆる ニ分法 (2進)
\(\sqrt{2}\) = 1.4142 …
分母 \(2^{2n}\) は省略
| n |
左端の2乗 |
中央の2乗 |
右端の2乗 |
2 |
\(a_n\) |
| 1 |
4 |
9 |
16 |
8 |
0 |
| 2 |
16 |
25 |
36 |
32 |
1/4 |
| 3 |
100 |
121 |
144 |
128 |
1/8 |
| 4 |
484 |
529 |
576 |
512 |
0 |
| 5 |
1936 |
2025 |
2116 |
2048 |
1/32 |
この二分法は例1の考えを使って改良できる。
あえて，書かないことにする。
\(\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{32}
+\dfrac{1}{128}+\dfrac{1}{8192}+\dfrac{1}{65536}+\cdots\)
あとは，筆算でどう書くかの違いだけ。
立方根の計算法は課題として残しておこう。