131020 初版
性質 並び換え
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)
+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k\right)}\)
いわゆるΣ計算であるが、TDN計算である。
難しくはない、面倒なだけである。
ただ、計算力はつく。
番号振り替えの原理は、面倒ではないが難しい。
証明
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)}\)
\(=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+(a_3+b_3)+\cdots+(a_{n-1}+b_{n-1})+(a_n+b_n)\)
\(=(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n)+(b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}+b_n)\)
\(=\displaystyle{\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k\right)}\)
当たり前といわれるかもしれないが、
一度はちゃんと説明してほしいところ。
2行目から3行目はなぜ正しいのか。
でないと、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k\cdot b_k)}\) と
\(\displaystyle{\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^{n}b_k\right)}\) が
等しいと思う人が現れる。
例1
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k(k+2)}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k)}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2}\)
\(+2\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k}\)
\(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)\) …
公式
\(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\)
例2
数列 { an } は 初項 1, 公差 3 の等差数列
数列 { bn } は 初項 1, 公比 3 の等差数列とする。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)}\)
\(=\dfrac{1}{2}n(3n-1)+\dfrac{1}{2}(3^n-1)\)
\(=\dfrac{1}{2}(n(3n-1)+3^n-1)\)
ちなみに
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k\cdot b_k}\) はこちら