導関数

f(x) について，
x の各値 a に対して 微分係数 f'(a) を対応させることによって， 関数を考えることができる。
これを f(x) の導関数という。
f': x ↦ f'(a)

言い換えると，導関数の値を微分係数という。

f(x) の導関数 f'(x) は
y = f(x) の各点 A(a, f(a)) における接線の傾きを 関数の値とみている。

導関数の定義を式で表す。
\(\displaystyle{f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)

x の増分を \(\Delta x\) と書くとする。
例えば， x が x から x+h まで変化したとき \(\Delta x = h\)
y の増分を \(\Delta y\) と書くと，
この例では \(\Delta y=f(x+h)-f(x)\)
導関数の定義を式で表す。
\(\displaystyle{f^\prime(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}}\)

\(y = f(x)\) とする。
導関数の表し方として，
\(y^\prime\),  \(f^\prime(x)\) はニュートンの流れをくむ書き方である。
\(\dfrac{dy}{dx}\),  \(\dfrac{df(x)}{dx}\),  \(\dfrac{d}{dx}f(x)\) はライプニッツの流れをくむ書き方である。

関数f(x) から その導関数f'(x) を求めることを，f(x) を微分するという。
\(\dfrac{d}{dx}\): f ↦ f'

f(x) = 2x³ とする。
\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x^2+6xh+2h^2\) だから
導関数は \(\displaystyle{f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x^2}\)