中学校のときに，直線の式を学んだ。
例えば，
式 y = 3x - 2 で表される1次関数のグラフは
傾き 3, 切片 -2 の直線だった。
言葉の使い方は大切である。
方程式 y = 3x -2 で表される図形は，
傾き 3, y切片 -2 の直線 ℓ である という。
これは，
方程式を満たす実数の組 (x, y) で表される点は直線 ℓ 上にある
逆に，直線ℓ 上にある点の座標(x, y) はこの方程式を満たす
という意味である。
方程式 y = -2 で表される図形は，
傾き 0, y切片 -2 の水平線である。
これは，
x座標は自由だが，y座標は -2 に縛られている点の集合とみることができる。
方程式は束縛条件でもある。
方程式 x = 3 で表される図形は，
x切片 3 の鉛直線である。
この場合の傾きは考えない。
これは，
y座標は自由だが，x座標は 3 に縛られている点の集合とみることができる。
x, yについての1次方程式 ax + by + c = 0 は
a, bの少なくとも一方が 0 でない場合直線を表すことがわかる。
逆に，直線は x, y についての1次方程式で表されるであろうか。
x軸に平行 あるいは 垂直な直線はよいであろう。
それ以外の直線を考えて，
直線上のある点 A(x1, y1) をとる。
もう1点とると自然に傾きという考えができて，それを m とする。
直線上の任意の点 P(x, y) について，
y - y1 = m(x - x1)
が成り立つ。
これは，直角三角形の相似，比例の考えである。
とても，計算ミスの多い公式である。
解析学では，
y = m(x - x1) + y1
とみることもいい。
直線は x, y についての1次方程式で表される。