確率変数の和

2つの確率変数 X, Yがある。
\(X=\{x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\}\), \(Y=\{y_1,y_2,y_3,\cdots,y_m\}\)
それぞれの組 (x_i, y_j) から 実数への対応を 同時分布という。

\(P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}\) とする。

X＼Y	y1	y2	y3	…	ym	計
x1	p11	p12	p13	…	p1m	p1
x2	p21	p22	p23	…	p2m	p2
x3	p31	p32	p33	…	p3m	p3
…	…	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	pn3	…	pnm	pn
計	q1	q2	q3	…	qm	1

ここで，
それぞれの i に対して， \(P(X=x_i)=p_i=\displaystyle{\sum_{k=1}^mp_{ik}}\)
それぞれの j に対して， \(P(Y=y_j)=q_j=\displaystyle{\sum_{k=1}^mp_{kj}}\)
つまり，

X	x1	x2	x3	…	xn	計
P	p1	p2	p3	…	pn	1

Y	y1	y2	y3	…	ym	計
P	q1	q2	q3	…	qm	1

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)