4. ディオファントス1次方程式
A 先生は，数学A での新しい題材は周期性が鍵であるから，
周期のある題材を使いたかったと話してくれた。
例えば， 11x+13y=1 の
整数解はどのように求めるのだろうか。
このくらいで互除法を用いて構成するまでもない。
合同式を用いれば 11x ≡ 1 (mod 13) となる整数 x を求めることになるのだが，
11 の倍数を 13 を法としてみれば(13 を法とする公差 11 の等差数列)
11, 9, 7, 5, 3, 1, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0
(11 ≡ -2 (mod 13) だから 公差 11 と公差 -2 は同じこと)
であるから， (x,y)=(6,-5) が見つかる。
ふと，1学年担当の先生の机上をみたら，ある問題集からの課題が載っていた。
問題 4-1
71x+32y=3 の
整数解を求めよ。
問題集における正解例は，互除法で1つの解を構成するか，合同式を用いた方法であった。
次のような
指導はどうだろうか。
定理 4-1
71x+32y=3 を満たす整数 x を求めることは，
71の倍数のうちで32で割った余りが3であるものを見つける
ことと同じである。
実際，
x は整数であるから，71x は 71 の倍数のことである。
71x = 32× (-y) + 3 という式は，
71x を32で割ると，商が -y で余りが 3 である，
ことを示している。
定理 4-2
71x+32y=3 の整数解を求めることは，
7x+32y=3 の整数解を求める
ことと同じである。
実際，7x + 32y = 3 を満たす整数の組 (x,y) = (a,b) があったならば，
7 = 71 - 32 × 2 だから，(71 - 32 × 2) a + 32b = 3.
ゆえに，(x,y) = (a,-2a+b) は 71x + 32y = 3 を満たす。
定理4-2を繰り返し使うことが，互除法による解の構成方法である。
だが，7x + 32y = 3 の場面で，定理4-1 の考え方を用いると，
7 の倍数のうちで 32 で割った余りが 3 であるものを見つければよいのだから，
7× 5 = 35 は直ちに見つかる。
では，
問題 4-2
71x + 32y = 23 の整数解を求めよ。
だったら，どうするか，
7, 14, 21, 28, 3, 10, 17, 24, 31, 6, 13, …
としても (この数列どこかで見たような…)，
7 の倍数のうちで，32 で割って余り 23 のものを見つけることは面倒
(7× 1 から 7× 31 の 31個のうちにはあるはず。
ということも知っておくことは，解法を覚えることよりも大切だと思う。)だ。
であるが，一度32を超えた，
\(7\cdot 5=32\cdot 1+3\) を使えば，
両辺を3倍 … ☆ して,
\(7\cdot 15=32\cdot 3+ 9\),
両辺に14加えて，\(7\cdot 17=32\cdot 3+ 23\),
となり，x = 17 を得る。
☆ の 3 はどのように見つけるのだろうか。
3x + 7y = 23 すなわち 3x + 7y = 2 を解くことと同じなのである。
実際，3a + 7b = 2 ⇔ 3a + 7(b+3) = 23
⇔ 7(b+3) + (7 × 5 - 32 × 1)a=23
⇔ 7(5a+b+3) + 32× (-a)=23
⇔ (71-32× 2)(5a+b+3) + 32 × (-a) = 23
⇔ 71(5a+b+3) + 32 × (-11a-2b-6)=23
いま，(a,b) = (3,-1) はひとつの解である。
ディオファントス1次方程式の解を求めるためには，
倍数列から見つければよい，
ということを体験させて，解を構成するには，
より簡単に解が見つかる方程式を見つけるのだ，
一般にはそれは互除法である，と結びつけたほうがよいと考える。
互除法の使い方の訓練よりも，互除法の思想を伝えたほうがよいのではないかと思う。