リフルシャッフルの数理

5枚のカード0, 1, 2, 3, 4 をリフルシャッフル (この話を最初に聞いたのは県の研修会での飯高茂先生の講演である)する。 最初の状態を $\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{array} \right)$ と表す。 (表現方法の工夫，定式化，整理，誘導)

定義　問題の定式化
リフルシャッフルとは p 枚のカードを半分ずつAとBの2つに分け、 ( p が偶数のときは $\frac{p}{2}$ 枚ずつ、 pが奇数のときは $\frac{p+1}{2}$ 枚と $\frac{p-1}{2}$ 枚のA, B２つの山に分ける。) シャッフルは A の1枚目の次に B の1枚目、 さらに A の2枚目そして B の2枚目、というように繰り返していく。

実験してみよう。 $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right)$ と $\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ \end{array} \right)$ に分ける。
1行目を初期状態として、1回シャッフルした結果を2行目に記すと、 (カードの行き先順を記す方法もあるが，カードの並びのほうが分かりがよいようだ。) (表現方法の工夫　定式化　誘導)
$\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\ \end{array} \right)$
2回目のシャッフルは、 $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 1 \\ \end{array} \right)$ と $\left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ \end{array} \right)$ に分ける。 したがって、
$\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 0 & 4 & 3 & 2 & 1\\ \end{array} \right)$
繰り返すと、
$\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 0 & 4 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{array} \right)$
ということで5枚の場合4回で初期状態に戻る。

$\sigma_5=\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\ \end{array} \right)$
この表記は，群の考えを使っているともいえる。
$\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{array} \right)$ というカードの並びが， 実体として $\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\ \end{array} \right)$ と並びかわることを示すだけでなく， 一番左を0番としたとき，例えば3番のカードは1番にいくことを示している。
巡回記法という方法でかけば， $\sigma_5=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 3\\ \end{array} \right)$ (1番のカードは2番に，2は4番に, 4は3番に，3は1番にということの略記法, 右から左に見れば， 3番には4番のカードが， 4番には2が， 2番には1が， 1番には3がくるということ。) (表現・技能・処理) だから，
${\sigma_5}^2=\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 3 & 2 & 1\\ \end{array} \right)$