位置ベクトル 170902

　点の位置をベクトルを使って表したものを，位置ベクトルといいます。位置ベクトルは，座標の拡張です。
　点Pの位置ベクトルが \(\vec{p}\) であるとき，点P(\(\vec{p}\)) と書きます。これは P(x₁, y₁) と書かれてあるのと，感覚的には同じです。実際，
O を原点，\(\overrightarrow{\rm OP}=\vec{p}\) として， \(\vec{p}\) を成分で表せば座標と同じことです。
　位置を表すために，例えば，「駅はどこにありますか？」という問いに，「あちらの方に5分くらい歩けば着きますよ。」このやり取りが，矢線を使って位置を表しています。

有向線分 \(\overrightarrow{\rm OP}\) を， O からの P の位置を表しているとみているのです。
また，
有向線分 \(\overrightarrow{\rm AP}\) を， A からの P の位置ベクトルとみることがあります。

\(\overrightarrow{\rm OA} +\overrightarrow{\rm AB} =\overrightarrow{\rm OB}\) ですから，
\(\overrightarrow{\rm AB} =\overrightarrow{\rm OB} -\overrightarrow{\rm OA}\) が成り立ちます。
\(\overrightarrow{\rm OA}\) を O からの A の位置ベクトルとみて， \(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\) とします。
\(\overrightarrow{\rm OB}\) を O からの B の位置ベクトルとみて， \(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\) とします。
したがって， \(\overrightarrow{\rm AB} =\overrightarrow{b} -\overrightarrow{a}\) が成り立ちます。

任意の点 X に対して，
\(\overrightarrow{\rm XA} +\overrightarrow{\rm AB} =\overrightarrow{\rm XB}\) ですから，
\(\overrightarrow{\rm AB} =\overrightarrow{\rm XB} -\overrightarrow{\rm XA}\) が成り立ちます。
これを始点変更公式と呼ぶことにします。ベクトルの図形への応用では大変重宝する式です。
\(\overrightarrow{\rm XA}\) は A の位置ベクトルと見ることができます。
\(\overrightarrow{\rm XB}\) は B の位置ベクトルと見ることができます。
したがって， \(\overrightarrow{\rm AB}\) = (Bのpvec) - (Aのpvec) (pvec は位置ベクトルの略) が成り立ちます。
\(\overrightarrow{\rm AB}= \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\) にはそのような意味も込められています。
　図形における有向線分は，始点を位置ベクトルの基準点とみていることがあります。