点C \((\overrightarrow{c})\) を中心として，
半径 r である
円のベクトル方程式を求めてみましょう。
P が円上にあることと
\(\left|\overrightarrow{\rm CP}\right|=r\)
であることは同値です。
点P の
位置ベクトル
を \(\overrightarrow{p}\) とすると，
始点変更公式
によって，
\(\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}\) ですから，
\(\left|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}\right|=r\)
これが，Pの位置ベクトルについての方程式です。
2点A \((\overrightarrow{a})\)，
B \((\overrightarrow{b})\) を直径の両端とする
円のベクトル方程式を求めてみましょう。
P が円上にあることと
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BP}=0\)
であることは同値です。
点P の
位置ベクトル
を \(\overrightarrow{p}\) とすると，
始点変更公式
によって，
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\),
\(\overrightarrow{\rm BP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\) ですから，
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot
(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0\)
これが，Pの位置ベクトルについての方程式です。