等差×等比型の和を一気に求める。
その考えを学ぼう。
和を一気に求めるには，何かしらのアイディアがある。
教科書なり参考書なり，先人からアイディアを学ぶ。
他人のテクニックなら，もっと簡単で計算間違いの少ない方法
(バニシング法)
がある。
このページでは，従来のテクニックを記述する。
(参考 等差×等比 型 tb)
ざっくり言うと，こちら
数列1
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|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
… |
|
(n-2) |
|
(n-1) |
|
n |
|
|
| S |
= |
1 |
+ |
2•2 |
+ |
3•4 |
+ |
… |
+ |
(n-2)•2n-3 |
+ |
(n-1)•2n-2 |
+ |
n•2n-1 |
|
|
| 2S |
= |
|
|
2 |
+ |
2• 4 |
+ |
… |
+ |
(n-3)•2n-3 |
+ |
(n-2)•2n-2 |
+ |
(n-1)•2n-1 |
+ |
n•2n |
| -S |
= |
1 |
+ |
2 |
+ |
4 |
+ |
… |
+ |
2n-3 |
+ |
2n-2 |
+ |
2n-1 |
- |
n•2n |
よって，
\(1+2+4+\cdots+2^{n-3}+2^{n-2}+2^{n-1}=2^n-1\) だから
\(S=(n-1)\cdot 2^n + 1\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}=(n-1)\cdot 2^n+1}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}}\)
\(\displaystyle{2S=\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)\cdot 2^{k-1}+n\cdot 2^n}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}+n\cdot 2^n}\)
\(\displaystyle{S=2S-S=-\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}+n\cdot 2^n=(n-1)\cdot 2^n+1}\)
一般に、 r は 1でない定数とする。
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}k\cdot r^{k-1}}\) とおく。
\(\displaystyle{rS=\sum_{k=1}^{n}k\cdot r^k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)\cdot r^{k-1}+n\cdot r^n}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}k\cdot r^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}+n\cdot r^n}\)
\(\displaystyle{(1-r)S=\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}-n\cdot r^n=\dfrac{1-r^n}{1-r}-n\cdot r^n}\)
Σ を使って 手早く処理したいところ。
考えのポイントは次の式
一番最初のように書くと手間がかかるので、
要所がわかったら、Σ を使った処理に慣れたい。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k\cdot r^k=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)\cdot r^{k-1}}\)
類題
こちら