130401 初版 130401 更新
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接線の問題は古来から研究されてきた。
関数 f(x) は x=a で微分可能であるとする。
すなわち，
\(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) が存在する。
すなわち，
右からと左からの極限値が存在して等しい。
このとき，
\(\displaystyle{f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)
とおくのであった。
曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) について，
\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) は A とそのちょっとずれた点B との，
直線ABの傾きである。
このように，接線の問題は，
式が取り扱えるようになれば，自然な発想である。
曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) について，
Aにおける接線の方程式は，
\(y = f^\prime (a)(x-a)+f(a)\)
(教科書では \(y-f(a)=f^\prime (a)(x-a)\)
参考)
曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) について，
A を通り，Aにおける接線と垂直な直線を法線という。
f'(a) ≠ 0のとき，法線の方程式は，
\(y = -\dfrac{1}{f^\prime(a)}(x-a)+f(a)\)
教科書では \(y -f(a) = -\dfrac{1}{f^\prime(a)}(x-a)\)