接線と法線

Processing math: 0%

130401 初版 130401 更新

接線の問題は古来から研究されてきた。

関数 f(x) は x=a で微分可能であるとする。
すなわち，

$\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ が存在する。
すなわち，右からと左からの極限値が存在して等しい。

このとき，

$\displaystyle{f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ とおくのであった。

曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) について，

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ は A とそのちょっとずれた点B との，直線ABの傾きである。
このように，接線の問題は，式が取り扱えるようになれば，自然な発想である。

曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) について，
Aにおける接線の方程式は，

$y = f^\prime (a)(x-a)+f(a)$
(教科書では

$y-f(a)=f^\prime (a)(x-a)$ 参考)

曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) について，
A を通り，Aにおける接線と垂直な直線を法線という。
f'(a) ≠ 0のとき，法線の方程式は，

$y = -\dfrac{1}{f^\prime(a)}(x-a)+f(a)$
教科書では

$y -f(a) = -\dfrac{1}{f^\prime(a)}(x-a)$