161103 初版 161103 更新
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n k^2\cdot 2^{k-1}}\) を
バニシング法 第1を用いて計算してみます。
| S= |
1 |
+4・2 |
+9・4 |
+ 16・8 + 25・16 + 36・32 + … + n2・2n-1 |
|
|
|
| -3・2S= |
|
-3・2 |
-12・4 |
- 27・8 - 48・16 - 75・32 - … - 3(n-1)2・2n-1 |
-3n2・2n |
|
|
| +3・4S= |
|
|
3・4 |
+ 12・8 + 27・16 + 48・32 + … + 3(n-2)2・2n-1 |
+3(n-1)2・2n |
+3n2・2n+1 |
|
| -8S= |
|
|
|
- 1・8 - 4・16 - 9・32 - … - (n-3)2・2n-1 |
-(n-2)2・2n |
-(n-1)2・2n+1 |
-n2・2n+2 |
\(-S = 3 + 2^n((-3+6-4)n^2+(3-2)(n-1)^2-(n-2)^2)\)
ゆえに\(S=-3+2^n(n^2-2n+3)\)
n 項の和が高々12項でかけているところがポイントです。
ほとんどの項が消滅(vanishing)しています。
Σ記号を使ってこの方法を表現してみます。
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n k^2\cdot r^{k-1}}\) とおく。
\(\displaystyle{rS=\sum_{k=1}^n k^2\cdot r^k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n-1} k^2\cdot r^k+n^2\cdot r^n}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n} (k-1)^2\cdot r^{k-1}+n^2\cdot r^n}\)
\(\displaystyle{r^2S=\sum_{k=1}^n k^2\cdot r^{k+1}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=3}^{n} (k-2)^2\cdot r^{k-1}
+(n-1)^2\cdot r^n+n^2\cdot r^{n+1}}\)
\(\displaystyle{r^3S=\sum_{k=1}^n k^2\cdot r^{k+2}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=4}^{n} (k-3)^2\cdot r^{k-1}
+(n-2)^2\cdot r^n+(n-1)^2\cdot r^{n+1}+n^2\cdot r^{n+2}}\)
また，\(k^2-3(k-1)^2+3(k-2)^2-(k-3)^2=0\)
したがって，\((1-r)^3S\)
\(=1+r-(n+1)^2\cdot r^n\)\(+(2n^2+2n-1)r^{n+1}\)\(-n^2\cdot r^{n+2}\)
\(=1+r\)\(-r^n((1-r)^2n^2+2(1-r)n+(1+r))\)