Σの計算

　Σ計算は高校生の天敵かもしれません。 コツは一般項の式によって手を変えることです。 k が1 から n までの a_k たちの和ですが， 最初が1でなかったり，最後がn でなかったりすると混乱するようです。 また，因数分解などの式変形で戸惑い， 本来の 数列の和 という目的とは異なるところに気をつかうことも遠ざかる理由です。

• (1) \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n(4k-3)}\)
• (2) \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n 2\cdot 3^k}\)
• (3) \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n k(k+2)}\)
• (4) \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(3k-1)(3k+2)}}\)
• (5) \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n (4k-3)\cdot 2^{k-1}}\)
• (6) \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2\cdot 2^{k-1}}\)

もちろん，これ以外もありますが，まずこの6つから始めましょう。

(1) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(4k-3)}\)
一般項が 1次式の場合は 等差数列の和の考えが便利です。
\(S=\dfrac{n(1+(4n-3))}{2}\)

(1-2) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}(4k-3)}\)
一般項が 1次式の場合は 等差数列の和の考えが便利です。
\(S=\dfrac{(n-1)(1+(4n-7))}{2}\)

(2) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n 2\cdot 3^k}\)
一般項が 等比数列の場合は 等比数列の和のFujitaの公式が便利です。 vanishing method 第1です。
\(S=\dfrac{6-2\cdot3^{n+1}}{1-3}\)

(2-2) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} 4^k}\)
一般項が 等比数列の場合は 等比数列の和のFujitaの公式が便利です。 vanishing method 第1です。
\(S=\dfrac{4-4^n}{1-4}\)

(2-3) \(S=\displaystyle{\sum_{k=2}^{n-1} 4^k}\)
一般項が 等比数列の場合は 等比数列の和のFujitaの公式が便利です。 vanishing method 第1です。
\(S=\dfrac{16-4^n}{1-4}\)

(3) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n k(k+2)}\)
一般項が，2次式または3次式のときは， いわゆる，Σ計算でしょうか。
\(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (k^2+2k)}\) \(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)\)

(3-2) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} k(k+2)}\)
一般項が，2次式または3次式のときは， いわゆる，Σ計算でしょうか。
\(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} (k^2+2k)}\) \(=\dfrac{1}{6}n(n-1)(2n-1)+n(n-1)\)

(4) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(3k-1)(3k+2)}}\)
分数の和の処理のアイディアは知っているとします。 vanishing 法 第2です。 和がΣで書かれてなくても，Σを使ったほうがスッキリと書くことができます。
\(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3k-1}-\dfrac{1}{3k+2}\right)}\) \(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\)

(5) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (4k-3)\cdot 2^{k-1}}\)
いわゆる等差×等比の和の基本的な処理は知っているとします。 vanishing 法 第1です。 和がΣで書かれてなくても，Σを使ったほうがスッキリと書くことができます。
\(S-2S=1+\displaystyle{\sum_{k=2}^{n} 4\cdot 2^{k-1}}-(4n-3)\cdot 2^n\) \(=1-(8-4\cdot2^n)-(4n-3)\cdot 2^n\)
ゆえに，\(S=7+(4n-7)\cdot 2^n\)

(5-2) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (4k-3)\cdot 2^{k-1}}\)
vanishing 法 第1を用いた別のアプローチです。
\(S-4S+4S=(1+10)-2(2+(4n-3)\cdot 2^{n})+((4n-7)\cdot 2^{n}+(4n-3)\cdot 2^{n+1})\)
2ⁿ の係数は -8n + 6 + 4n - 7 + 8n - 6
ゆえに，\(S=7+(4n-7)\cdot 2^n\)

(6) \(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2\cdot 2^{k-1}}\)
2次式×等比の和の基本的な処理は知っているとします。 vanishing 法 第1です。
\(S-6S+12S-8S=(1+8+36)-3(2+16+n^2\cdot 2^n)\)
\(+3(4+(n-1)^2\cdot 2^n\)\(+n^2\cdot 2^{n+1})
-((n-2)^2\cdot 2^n+(n-1)^2\cdot 2^{n+1}+n^2\cdot 2^{n+2})\)
2ⁿ の係数は \((3-6+4)n^2+(-3+2)(n-1)^2+(n-2)^2\)
ゆえに，\(S=-3+(n^2-2n+3)\cdot 2^n\)

もちろん，これ以外もありますが，まずこの6つから始めましょう。