161206 初版 161206 更新
二項 a + b の n乗 の展開式における，
an-rbr の係数を 二項係数といいます。
例えば，
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)
\((a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)
(a + b)n の an-rbr の係数は，
組合せ nCr と等しくなります。…①
つまり，
(a + b)n =
nC0an +
nC1an-1b +
nC2an-2b2 +
… +
nCn-2a2bn-2 +
nCn-1abn-1 +
nCnbn
ちゃんとかくと，
\(\displaystyle{(a+b)^n=\sum_{r=0}^n{}_n{\rm C}_ra^{n-r}b^r}\)
このことは二項定理と呼ばれています。
① が成り立つ説明を2通りします。
ひとつは，
例えば，\((a+b)^6=(a+b)^5(a+b)\) ですから，
\((a+b)^6\) における\(a^4b^2\) の項は
\((a+b)^5\) における
\(a^3b^2\) に a をかけるか，
\(a^4b\) に b をかけるか
で得られます。これしかありません。
一般に，(a + b)n の展開式における，
an-rbr の係数を nKr とかくと，
関係式
nKr =
n-1Kr-1 +
n-1Kr
が成り立ちます。
これは，組合せ nCr における関係式と同一です。
したがって，① が言えます。
もうひとつは，
例えば，(a + b)6 は
a + b を 6つ掛け合わせたものですから，
各項は a と b を合わせて6文字組み合わせたものです。
a4b2 の項は
a が 4つ，b が 2つ組み合わさったものですから，
同じものを含む順列の考えを使って，
\(\dfrac{6!}{4!\cdot 2!}\) 個あります。
一般に，(a + b)n の展開式における，
an-rbr の項は
\(\dfrac{n!}{(n-r)!\cdot r!}\) 個あります。
これは，組合せ nCr と等しく，
したがって，① が言えます。
二項係数の和
\(\displaystyle{\sum_{r=0}^n{}_n{\rm C}_r=2^n}\)
二項定理において a = b = 1 とおくと出ます。
二項係数の交代和
\(\displaystyle{\sum_{r=0}^n(-1)^r{}_n{\rm C}_r=0}\)
二項定理において a = 1, b = -1 とおくと出ます。