平行移動

\(f(x)=3(x+1)^2\)とする。
\(g(x)=3(x-2)^2+1\)とする。
表をかいてみる。

\(x\)	…	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	…
\(f(x)\)	…	\(12\)	\(3\)	\(0\)	\(3\)	\(12\)	\(27\)	\(48\)	\(75\)	…
\(g(x)\)	…	\(76\)	\(49\)	\(28\)	\(13\)	\(4\)	\(1\)	\(4\)	\(13\)	…

グラフ1が\(y=f(x)\), グラフ2が\(y=g(x)\)である。

表から分かるように，
グラフ1上の点\((-3,12)\) → グラフ2上の点\((0,13)\)
グラフ1上の点\((-2,3)\) → グラフ2上の点\((1,4)\)
グラフ1上の点\((-1,0)\) → グラフ2上の点\((2,1)\)
グラフ1上の点\((0,3)\) → グラフ2上の点\((3,4)\)

一般に，
グラフ1上の点\((a,b)\) → グラフ2上の点\((a+3,b+1)\)
実際，
\(b=f(a)=3(a+1)^2\)であり，
一方\(g(a+3)=3(a+1)^2+1=b+1\)である。
したがって，\((a,b)\)をグラフ1上の点とするならば，
\((a+3,b+1)\)はグラフ2上の点である。

この例では グラフ2は グラフ1を， \(x\)軸方向\(+3\), \(y\)軸方向\(+1\)だけ 平行移動したものといえる。

これは曲線\(y=f(x)\)上の各点を，\(x\)軸方向\(p\), \(y\)軸方向\(q\)だけ 平行移動すると
曲線\(y-q=f(x-p)\)の上にあり，
逆に， \(y-q=f(x-p)\)の上の各点は平行移動前は \(y=f(x)\)上にあったということ。

式の取り扱いとしては，
\(x\)を\(x-p\)に， \(y\)を\(y-q\)に書き換える

例をひとつ
放物線\(y=x^2+x\)を \(x\)軸方向\(-1\), \(y\)軸方向\(+2\)だけ 平行移動すると
\(y-2=(x+1)^2+(x+1)\)
すなわち，放物線\(y=x^2+3x+4\)となる。