座標空間において，xy 平面内で不等式 \(|x|\leqq 1\), \(|y|\leqq 1\)
により定まる正方形 S の4つの頂点を
A(-1, 1, 0), B(1, 1, 0), C(1, -1, 0), D(-1, -1, 0) とする。
正方形 S を，直線 BD を軸として回転させてできる立体を V1,
直線 AC を軸として回転させてできる立体を V2とする。
(1) \(0\leqq t < 1\) を満たす実数 t に対し，
平面 x=t による V1 の切り口の面積を求めよ。
(2) V1, V2 の共通部分の体積を求めよ。
V
1 について，
平面 x=t できると，
断面は2つの放物線に囲まれた部分になる。
\(y \geqq -t\) の場合
\(y \leqq -t\) の場合
放物線 ① \(y=-\dfrac{z^2}{2(1-t)}+1\) \((y \geqq -t)\)
放物線 ② \(y=\dfrac{z^2}{2(1+t)}-1\) \((y \leqq -t)\)
\(f_1(z)=-\dfrac{z^2}{2(1-t)}+1\)
\(f_2(z)=\dfrac{z^2}{2(1+t)}-1\) とおく。
求める面積は
\(\displaystyle{T(t)=\int_\alpha^\beta(f_1(z)-f_2(z))dz}\)
α, β (α<β)は
方程式 \(f_1(z)-f_2(z)=0\) の解である。
また，面積は 2次式 \(f_1(z)-f_2(z)\) の z² の係数を k として，
\(T(t)=\dfrac{-k}{6}(\beta-\alpha)^3\)
\(-k=\dfrac{1}{2(1-t)}+\dfrac{1}{2(1+t)}=\dfrac{1}{1-t^2}\)
\(f_1(z)-f_2(z)=0\)
⇔ \(-kz^2=2\),
\(\beta-\alpha=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{\dfrac{-1}{k}}\)
\(T(t)=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt{1-t^2}\)