座標空間において，xy 平面内で不等式 \(|x|\leqq 1\), \(|y|\leqq 1\)
により定まる正方形 S の4つの頂点を
A(-1, 1, 0), B(1, 1, 0), C(1, -1, 0), D(-1, -1, 0) とする。
正方形 S を，直線 BD を軸として回転させてできる立体を V1,
直線 AC を軸として回転させてできる立体を V2とする。
(1) \(0\leqq t < 1\) を満たす実数 t に対し，
平面 x=t による V1 の切り口の面積を求めよ。
(2) V1, V2 の共通部分の体積を求めよ。
V1 と
V2 の共通部分について，
平面 x=t できると，
断面は2つの放物線
①
③
に囲まれた部分になる。
放物線 ① \(y=-\dfrac{z^2}{2(1-t)}+1\) \((y \geqq -t)\)
放物線 ② \(y=\dfrac{z^2}{2(1+t)}-1\) \((y \leqq -t)\)
放物線 ③ \(y=\dfrac{z^2}{2(1-t)}-1\) \((y \geqq t)\)
放物線 ④ \(y=-\dfrac{z^2}{2(1+t)}+1\) \((y \leqq t)\)
\(f_1(z)=-\dfrac{z^2}{2(1-t)}+1\)
\(f_3(z)=\dfrac{z^2}{2(1-t)}-1\) とおく。
共通部分の断面積は
\(\displaystyle{S(t)=\int_{z_1}^{z_2} (f_1(z)-f_3(z))dz}\)
\(z_1\), \(z_2\) (\(z_1 < z_2\)) は
方程式 \(f_1(z)-f_3(z)=0\) の解である。
また，面積は 2次式 \(f_1(z)-f_3(z)\) の z² の係数を \(k_2\) として，
\(S(t)=\dfrac{-k_2}{6}(z_2-z_1)^3\)
\(-k_2=\dfrac{1}{1-t}\)
\(f_1(z)-f_3(z)=0\)
⇔ \(-k_2z^2=2\),
\(z_2-z_1=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{\dfrac{-1}{k_2}}\)
\(S(t)=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt{1-t}\)
求める体積を V とする。
\(\dfrac{1}{2}V=\displaystyle{\int_{0}^{1} S(t) dt}\)
\(=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\displaystyle{\int_{0}^{1} (1-t)^{\frac{1}{2}} dt}\)
\(=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\cdot\dfrac{-2}{3}\displaystyle{\left[ (1-t)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1}\)
\(=\dfrac{16\sqrt{2}}{9}\)
求める体積は
\(V=\dfrac{32\sqrt{2}}{9}\)
了