MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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\(f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}\)について考えてみる。
関数では次のことに注意する。
定義域，値域，増減，最大・最小
関数の問題は，まず，定義域について考えよう。
この関数においては，分母が零になることは許されないので，
定義域は\(x < -1\), \(-1 < x\)である。
関数の考察は，表が便利で，
| \(x\) |
… |
\(-\dfrac{3}{2}\) |
\(-1\) |
\(0\) |
… |
| \(f(x)\) |
… |
\(0\) |
nil |
\(3\) |
… |
グラフをかくためだけでなく，
\(f(0)\)や
\(f(x)=0\)となる\(x\)など，注目するべき値は求めておくとよい。
\(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\)は\(f(x)=\dfrac{k}{x-p}+q\)の形に変形できる。
\(f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}\) これを仮分数表示ということにする。
\(2x+3\)を\(x+1\)で割って，
\(2x+3=2(x+1)+1\)だから，
\(f(x)=\dfrac{1}{x+1}+2\) これを帯分数表示ということにする。
平行移動の理論により，
曲線\(y=\dfrac{k}{x-p}+q\)は，
曲線\(y=\dfrac{k}{x}\)を
(ここ)
\(x\)軸方向\(p\)，\(y\)軸方向\(q\)だけ平行移動したものである。
今の場合，曲線\(y=f(x)\)は，
曲線\(y=\dfrac{1}{x}\)を
\(x\)軸方向\(-1\)，\(y\)軸方向\(+2\)だけ平行移動したものである。
この曲線は，直角双曲線
漸近線は直線\(x=-1\)および\(y=2\)
式の上では，
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=2}\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=2}\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1+0}f(x)=+\infty}\),
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1-0}f(x)=-\infty}\),
| \(x\) |
\(-\infty\) |
… |
\(-1-0\) |
\(-1\) |
\(-1+0\) |
… |
\(+\infty\) |
| \(f(x)\) |
\(2\) |
↘ |
\(-\infty\) |
nil |
\(+\infty\) |
↘ |
\(2\) |
グラフ