130203 初版
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等差数列の和を一気に求める。
その考えを学ぼう。

数列1

1 2 3 … (n-2) (n-1) n
S = 1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + n
S = n + (n-1) + (n-2) + … + 3 + 2 + 1
2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) + (n+1)
よって，
\(1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)}\)
\(\displaystyle{2S=\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(k+n+1-k\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(n+1\right)=n(n+1)}\)
等差数列は数を横一列に並べる。公差を d とする。
一行目，左から右へ項番号が増えるように並べると，項の値は d ずつ増える。
二行目，左から右へ項番号が減るように並べると，項の値は d ずつ減る。
各項を縦に加えたものを三行目にかくと，縦の和は一定である。

数列2

1 2 3 … (n-2) (n-1) n
S = 1 + 3 + 5 + … + 2n-5 + 2n-3 + 2n-1
S = 2n-1 + 2n-3 + 2n-5 + … + 5 + 3 + 1
2S = 2n + 2n + 2n + … + 2n + 2n + 2n
よって，
\(1+3+5+\cdots+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=n^2\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=\sum_{k=1}^{n}(2n+1-2k)}\)
\(\displaystyle{2S=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)+\sum_{k=1}^{n}(2n+1-2k)}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1+2n+1-2k\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2n\right)=2n^2}\)

一般に 初項 a, 公差 d, 末項 l, 項数を n として

1 2 3 … (n-2) (n-1) n
S = a + a+d + a+2d + … + l-2d + l-d + l
S = l + l-d + l-2d + … + a+2d + a+d + a
2S = a+l + a+l + a+l + … + a+l + a+l + a+l
よって，
初項 a, 公差 d, 末項 l, 項数 n として，\(l=a+(n-1)d\)
\(a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(l-2d)+(l-d)+l=\dfrac{1}{2}n(a+l)=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a+(k-1)d)=\dfrac{1}{2}n(a+l)}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}(a+(k-1)d)=\sum_{k=1}^{n}(l-(k-1)d)}\)
\(\displaystyle{2S=\sum_{k=1}^{n}(a+(k-1)d)+\sum_{k=1}^{n}(l-(k-1)d)}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(a+(k-1)d+l-(k-1)d\right) =\sum_{k=1}^{n}\left(a+l\right)=(a+l)n}\)

この和の公式は台形の面積を求める公式と同じである。