MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
図形と並ぶ，数学で取り扱う基本的な事柄だと思う。
数列1
| \(n\) |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
| \(a_n\) |
2 |
5 |
8 |
11 |
… |
この手の，項の間の関係に規則性があるような場合，
その規則を見つけるのはどうすればよいだろうか。
また，小学校と違い，高校では式を使って記述することが，
発達段階において相応しい方法であると考える。
| 2 | |
5 | |
8 | |
11 | |
14 | |
17 | |
… |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| |
… |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| |
… |
このように，隣どうしの項の差をとることを，階差をとるといい，
できた数列を，もとの数列の階差数列という。
数式で表すことも大切で，
\(a_2-a_1=3\)
\(a_3-a_2=3\)
\(a_4-a_3=3\)
\(a_5-a_4=3\)
\(a_6-a_5=3\)
もとの数列の一般項を\(\{a_n\}\)とすると，
階差数列の第\(n\)項\(b_n\)は，\(b_n=a_{n+1}-a_n\)
| \(n\) |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
| \(a_n\) |
2 |
5 |
8 |
11 |
… |
| \(b_n\) 階差 |
3 |
3 |
3 |
3 |
… |
| \(n\) |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(n-1\) |
\(n\) |
|
| \(a_n\) |
\(a_1\) |
\(a_2\) |
\(a_3\) |
\(a_4\) |
… |
\(a_{n-1}\) |
\(a_{n}\) |
|
| 階差 |
\(a_2-a_1\) |
\(a_3-a_2\) |
\(a_4-a_3\) |
\(a_5-a_4\) |
… |
\(a_{n}-a_{n-1}\) |
\(a_{n+1}-a_n\) |
番号注意 |
|
∥ |
∥ |
∥ |
∥ |
… |
∥ |
∥ |
|
| \(b_n\) |
\(b_1\) |
\(b_2\) |
\(b_3\) |
\(b_4\) |
… |
\(b_{n-1}\) |
\(b_{n}\) |
番号注意 |
階差が一定のものを等差数列といい，
その差を公差という。
すなわち，数列\(\{a_n\}\)が等差数列である⇔\(a_{n+1}-a_n=d\) (\(n\)に依らず一定)
私たちの，数列の問題での大きな目標は
項間関係(漸化式)から一般項を求めることと，
その数列の和を求めることである。
高校なら，一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。
漸化式\(a_{n+1}-a_n=d\) すなわち，\(a_{n+1}=a_n+d\)
逐次的(successive)計算
\(a_{2}=a_{1}+d\)
\(a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d\)
\(a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+3d\)
\(a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+4d\)
…
\(a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d\)
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
\(a_{n}=a_{n-1}+d\)
\(a_{n-1}=a_{n-2}+d\), \(a_{n}=a_{n-2}+2d\)
\(a_{n-2}=a_{n-3}+d\), \(a_{n}=a_{n-3}+3d\)
…
\(a_{3}=a_{2}+d\), \(a_{n}=a_{2}+(n-2)d\)
\(a_{2}=a_{1}+d\), \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
\(a_{2}-a_{1}=d\)
\(a_{3}-a_{2}=d\)
\(a_{4}-a_{3}=d\)
\(a_{5}-a_{4}=d\)
…
\(a_{n}-a_{n-1}=d\)
両辺それぞれ合計を取る。
\(a_{n}-a_{1}=(n-1)d\)
すなわち，\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
表では
| \(n\) |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(n\) |
| \(a_n\) |
\(a_1\) |
\(a_1+d\) |
\(a_1+2d\) |
\(a_1+3d\) |
… |
\(a_1+(n-1)d\) |
| \(b_n\) 階差 |
\(d\) |
\(d\) |
\(d\) |
\(d\) |
… |
\(d\) |