160108 初版 160108 更新
三角形ABC において，辺BC の長さを a で表す。b, c についても慣例に倣う。
次の式が成り立つ。
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
例
(参考 有名な三角形)
a = 5, b = 8, C = 60°とする。
\(c^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60°\) かつ \(c> 0\)
c = 7
a = 3, b = 5, c = 7 とする。
\(\cos C= \dfrac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot 3\cdot 5}=-\dfrac{1}{2}\) かつ \(0°< C\lt 180°\)
C = 120°
a = 7, b = 8, A = 60° とする。
c を求める。
\(7^2= 8^2+c^2-2\cdot 8\cdot c\cdot\dfrac{1}{2}\) かつ \(c> 0\)
c2 - 8c + 15 = 0 かつ c > 0
c = 3, 5
証明
三角形ABC で，C から直線AB に垂線CH を下す。
辺AB を底辺と見たときの高さが CH である。
三角形ACH において，CH = b sin A,
AH = b cos A
三角形BCH において，ピタゴラスの定理を用いる。
\(a^2={\rm CH}^2+{\rm BH}^2\)
\(a^2=b^2\sin^2A+(c-b\cos A)^2\)
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)