リフルシャッフルの数理

再び具体例で13枚の場合をみる。
\(\left( \begin{array}{ccccccccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ 0 & 7 & 1 & 8 & 2 & 9 & 3 & 10 & 4 & 11 & 5 & 12 & 6\\ 0 & 10 & 7 & 4 & 1 & 11 & 8 & 5 & 2 & 12 & 9 & 6 & 3\\ 0 & 5 & 10 & 2 & 7 & 12 & 4 & 9 & 1 & 6 & 11 & 3 & 8\\ 0 & 9 & 5 & 1 & 10 & 6 & 2 & 11 & 7 & 3 & 12 & 8 & 4\\ 0 & 11 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1 & 12 & 10 & 8 & 6 & 4 & 2\\ 0 & 12 & 11 & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 6 & 12 & 5 & 11 & 4 & 10 & 3 & 9 & 2 & 8 & 1 & 7\\ 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & 2 & 5 & 8 & 11 & 1 & 4 & 7 & 10\\ 0 & 8 & 3 & 11 & 6 & 1 & 9 & 4 & 12 & 7 & 2 & 10 & 5\\ 0 & 4 & 8 & 12 & 3 & 7 & 11 & 2 & 6 & 10 & 1 & 5 & 9\\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \end{array} \right)\)

この表は観察に値する。 命題として現象を表現する。 いくつ予想が作れるだろうか。
数学的な活動は， 実験→予想→推論(証明)でひとつの過程をなすと思っている。
13枚のときの1回のシャッフルを巡回記法でかけば，
\(\sigma_{13}= \left( \begin{array}{cccccccccccc} 1 & 2 & 4 & 8 & 3 & 6 & 12 & 11 & 9 & 5 & 10 & 7\\ \end{array} \right)\)
これは! と感じるものがある。

定理 3-1
あるとき k の場所にあったカードは 1回のシャッフルで 2k (mod p) の場所へ行く。

定理 3-2
2k (mod p) (k=0, 1, 2, …, p-1) には重複がない。

定理 3-3
初期状態に戻るためにかかる最小の回数を n 回とすると， n は「p のオイラー関数の値」の約数である。

定理 3-4
初期状態に戻るためにかかる最小の回数を n 回とすると， n-m 回目に k の位置にあるカードは\(2^{m}\cdot k\) (mod p)である。

定理 3-5
1 の位置にあるカードは p を法とする 2 のべきの逆順である。

p を奇数として，p 枚のリフルシャッフルの数理は， 有限アーベル群\(\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^{\times}\) ( p が奇素数のときは巡回群)における 2 の位数が， 初期状態に戻るまでの シャッフル回数である，ということである。

カードが 52 枚だと，それは 51 枚のときと同じだから， 2のべきを mod 51 で考えて，
2, 4, 8, 16, 32, 13, 26, 1 となるから，mod 51 における 2 の位数は 8 である。 51 のオイラー関数の値は 32 なので， 8 は確かにその約数である。
カードが 53 枚だと， 2 のべきを mod 53 で考えて，
\( \begin{array}{ccccccccccccc} 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 11 & 22 & 44 & 35 & 17 & 34 & 15 & 30\\ 7 & 14 & 28 & 3 & 6 & 12 & 24 & 48 & 43 & 33 & 13 & 26 & 52\\ 51 & 49 & 45 & 37 & 21 & 42 & 31 & 9 & 18 & 36 & 19 & 38 & 23\\ 46 & 39 & 25 & 50 & 47 & 41 & 29 & 5 & 10 & 20 & 40 & 27 &1\\ \end{array} \)
mod 53 における 2 の位数は 52 である。 53のオイラー関数の値は 53 は素数なので 52 である。