3. リフルシャッフルの数理 つづき
6枚の場合、
\(\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right)\)
と
\(\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 5\\
\end{array}
\right)\)
に分ける。
1行目を初期状態として、1回シャッフルした結果を2行目に記すと、
(表現・技能・処理)
\(\left(
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
0 & 3 & 1 & 4 & 2 & 5\\
\end{array}
\right)\)
2回目のシャッフルは、
\(\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 3 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
と
\(\left(
\begin{array}{ccc}
4 & 2 & 5\\
\end{array}
\right)\)
に分ける。
したがって、
\(\left(
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
0 & 3 & 1 & 4 & 2 & 5\\
0 & 4 & 3 & 2 & 1 & 5\\
\end{array}
\right)\)
繰り返すと、
\(\left(
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
0 & 3 & 1 & 4 & 2 & 5\\
0 & 4 & 3 & 2 & 1 & 5\\
0 & 2 & 4 & 1 & 3 & 5\\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\end{array}
\right)\)
ということで6枚の場合4回で初期状態に戻る。
9枚の場合、
\(\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\end{array}
\right)\)
と
\(\left(
\begin{array}{cccc}
5 & 6 & 7 & 8\\
\end{array}
\right)\)
に分ける。
1行目を初期状態として、1回シャッフルした結果を2行目に記すと、
(表現・技能・処理)
\(\left(
\begin{array}{ccccccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
0 & 5 & 1 & 6 & 2 & 7 & 3 & 8 & 4\\
\end{array}
\right)\)
2回目のシャッフルは、
\(\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 5 & 1 & 6 & 2\\
\end{array}
\right)\)
と
\(\left(
\begin{array}{cccc}
7 & 3 & 8 & 4\\
\end{array}
\right)\)
に分ける。
したがって、
\(\left(
\begin{array}{ccccccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
0 & 5 & 1 & 6 & 2 & 7 & 3 & 8 & 4\\
0 & 7 & 5 & 3 & 1 & 8 & 6 & 4 & 2\\
\end{array}
\right)\)
繰り返すと、
\(\left(
\begin{array}{ccccccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
0 & 5 & 1 & 6 & 2 & 7 & 3 & 8 & 4\\
0 & 7 & 5 & 3 & 1 & 8 & 6 & 4 & 2\\
0 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\
0 & 4 & 8 & 3 & 7 & 2 & 6 & 1 & 5\\
0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 1 & 3 & 5 & 7\\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\end{array}
\right)\)
ということで9枚の場合6回で初期状態に戻る。
考察してみよう。(数学的な見方・考え方)
-
5枚のときと6枚のときは同じ，
p が奇数のときは p 枚のときと p+1 枚のときは同じではないか
-
1枚目は変化しない
-
偶数枚のとき、最後は変化しない
-
初期状態に戻る手前は偶数どうしと奇数どうしが順にとなりあって並ぶ。
-
どこかで逆順の並びがある
-
p=9 の場合は 3の位置には 3 と 6 しかない。6の位置も同様である
これは p が奇数の合成数のときに起こるのではないか。
このあたり，式を使って定式化し，生徒に理由を説明させたい。
先頭を0としたのは都合がよい。
奇数枚のときだけ考えれば十分である。
p 枚とする。
(p は奇数である)
初期状態で 1 の場所にあったカードは、
1回のシャッフルで 2 の場所に行く。
初期状態で 2 の場所にあったカードは、
1回のシャッフルで 4 の場所に行く。
ここでわかることは、
あるとき k の場所にあったカードは
1回のシャッフルで 2k の場所へ行く。
2k > p のときは 2k-p の場所へ行く。(理由を説明してみよう)