「一応正確に描いた図を見れば真であることが明らかな命題」
をもとに高校生向きの幾何学を構成していく。
確かに高校の数学は理論を構成していく楽しさがある。
いろいろな場面がある。
生徒と一緒に数学が作って行けたら，それは最高である。
\(\overrightarrow{\rm OK}+\overrightarrow{\rm OL}
=\overrightarrow{\rm OP}\) を
ベクトルの合成と
いうが
\(\overrightarrow{\rm OP}
=\overrightarrow{\rm OK}+\overrightarrow{\rm OL}\)
\(=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
を
平面上のベクトル \(\overrightarrow{\rm OP}\) の
\(\overrightarrow{\rm OA}\),
\(\overrightarrow{\rm OB}\) への分解という。
こちらでは，
分解と成分の話題を2つほどしたが，
分解はアフィン座標と密接な関係がある。
ここでは，
内積と
分解の話題を記す。
正射影の
考えと同じく教科書には余りかかれていないのに，
よく使われる考え方である。
同一平面上のO, A, B, Pにおいて，
\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\),
\(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\),
\(\overrightarrow{\rm OP}=\vec{p}\) とおく。
\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\) … ☆ なる s, t があるとする。
☆ と \(\vec{a}\) の内積をとって，
\(s\vec{a}\cdot\vec{a}+t\vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{p}\cdot\vec{a}\)
☆ と \(\vec{b}\) の内積をとって，
\(s\vec{a}\cdot\vec{b}+t\vec{b}\cdot\vec{b}=\vec{p}\cdot\vec{b}\)
この内積が全部分かれば，
連立方程式を解いて，
(
クラメルの公式)
\(\varDelta=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\)
\(\varDelta_s=(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{p}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{a})(\vec{p}\cdot\vec{b})\),
\(\varDelta_t=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{p}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{p}\cdot\vec{a})\) とおいて，
\(s=\dfrac{\varDelta_s}{\varDelta}\)
\(t=\dfrac{\varDelta_t}{\varDelta}\)