\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\)
\(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\)
となるように，3点O, A, B をとり，
\(\overrightarrow{\rm OP}=\vec{p}\) の
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) への分解を考える
\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)
∠POA=α ∠POB=β とおく
また，∠BOA=α + β = θ とおく
前の話によって，
\(\varDelta=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\)
\(\varDelta_s=(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{p}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{a})(\vec{p}\cdot\vec{b})\),
\(\varDelta_t=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{p}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{p}\cdot\vec{a})\) とおいて，
\(s=\dfrac{\varDelta_s}{\varDelta}\)
\(t=\dfrac{\varDelta_t}{\varDelta}\)
内積の定義によって，
\(\varDelta=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\)
\(=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(1-\cos^2\theta)=(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta)^2\)
これはOA, OBが張る平行四辺形の面積の2乗
\(\varDelta_s=(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{p}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{a})(\vec{p}\cdot\vec{b})\)
\(=|\vec{a}||\vec{b}|^2|\vec{p}|(\cos\alpha-\cos\theta\cos\beta)\)
ここで，\(\cos\alpha-\cos\theta\cos\beta\)
\(=\cos\alpha-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\cos\beta\)
\(=\cos\alpha(1-\cos^2\beta)+\sin\alpha\sin\beta\cos\beta\)
\(=\cos\alpha\sin^2\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos\beta\)
\(=\sin\beta(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)\)
\(=\sin\beta\sin\theta\)
よって，
\(\varDelta_s=|\vec{a}||\vec{b}|^2|\vec{p}|\sin\beta\sin\theta\)
\(s=\dfrac{|\vec{p}|\sin\beta}{|\vec{a}|\sin\theta}\)
同様に，
\(t=\dfrac{|\vec{p}|\sin\alpha}{|\vec{b}|\sin\theta}\)
したがって，
\({\rm OK}=|s\vec{a}|=\dfrac{{\rm OP}\sin\beta}{\sin\theta}\)
\({\rm OL}=|t\vec{b}|=\dfrac{{\rm OP}\sin\alpha}{\sin\theta}\)
これは，三角形OKP に
正弦定理を
適用したものと一致する。