積の展開の逆の操作を因数分解という。
\(A=(x+2)^2\) は \(B=x^2+4x+4\) と等しいが，
A から B への変形を積の展開，
B から A への変形を因数分解という。
展開になれると因数分解に強くなる。
\(x^2-16=(x+4)(x-4)\),
\(x^2-8x+16=(x-4)^2\)
\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\),
\(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)
\(x^3+y^3+1-3xy=(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)\)
たすきがけという有名な因数分解がある。
積 \((x+1)(x-3)\) を展開すると \(x^2-2x-3\) である。
積 \((2x+1)(x-3)\) を展開すると \(2x^2-5x-3\) である。
積 \((2x+3)(x-2)\) を展開すると \(2x^2-x-6\) である。
積 \((2x-3y)(3x+4y)\) を展開すると \(6x^2-xy-12y^2\) である。
一般に，積 \((ax+b)(cx+d)\) を展開すると \(acx^2+(ad+bc)x+bd\) である。
この展開は暗算でできるようにしたい。
この逆が因数分解であるから
\(x^2-2x-3\) を因数分解すると \((x+1)(x-3)\)
\(2x^2-5x-3\) を因数分解すると \((2x+1)(x-3)\)
\(2x^2-x-6\) を因数分解すると \((2x+3)(x-2)\)
\(6x^2-xy-12y^2\) を因数分解すると \((2x-3y)(3x+4y)\)
これも基本的には展開の経験がものをいうと思うが，
\(6x^2-xy-12y^2=(ax+by)(cx+dy)\) と因数分解できたとして
ac=6, bd=-12, ad+bc=-1 となる a, b, c, dを見つける。
a, c の候補は次で十分
代わりにb, d の候補は
| b |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
12 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-6 |
-12 |
| d |
-12 |
-6 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
12 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
一度は全部やってみることを勧める。
そして，値を観察すると要領が得られる。