\(A=x^3+1\) を \(B=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c\)の形に変形してみよう。
方法①
ともに \(x^3\) の係数は 1 だから，まずはよい。
x に 1 を代入して c = 2
x に 2 を代入して 1+a+b+2 = 9 i.e. a+b = 6
x に 0 を代入して -1+a-b+2 = 1 i.e. a-b = 0
よって， a = 3, b = 3, c = 2
方法②
式B を展開する。
\(B=x^3+(-3+a)x^2+(3-2a+b)x-1+a-b+c\)
これが A と等しいので，
-3+a=0, 3-2a+b=0, -1+a-b+c=1
よって， a = 3, b = 3, c = 2
方法③
x に t+1 を代入する。
\(A=(t+1)^3+1=t^3+3t^2+3t+2\)
\(B=t^3+at^2+bt+c\)
A と B を等しくするには，
a = 3, b = 3, c = 2
方法④
A を x - 1 で割って，商は \(x^2+x+1\) 余りは 2
\(x^2+x+1\) を x - 1 で割って，商は \(x+2\) 余りは 3
x + 2 を x - 1 で割って，商は 1 余りは 3
したがって，a = 3, b = 3, c = 2
このような変形を，テイラー展開という。
曲線 \(y=x^3+1\) の 点(1,2) における接線の方程式は y=3(x-1)+2 である。
参考
曲線の接線