階差数列

数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
図形と並ぶ，数学で取り扱う基本的な事柄だと思う。

この手の，項の間の関係に規則性があるような場合，
その規則を見つけるのはどうすればよいだろうか。
また，小学校と違い，高校では式を使って記述することが，
発達段階において相応しい方法であると考える。

このように，隣どうしの項の差をとることを，階差をとるといい，
できた数列を，もとの数列の階差数列という。

数式で表すことも大切で，
\(a_2-a_1=1\)
\(a_3-a_2=2\)
\(a_4-a_3=3\)
\(a_5-a_4=4\)
\(a_6-a_5=5\)

もとの数列の一般項を\(\{a_n\}\)とすると，
階差数列の第\(n\)項\(b_n\)は，\(b_n=a_{n+1}-a_n\)

n	1	2	3	4	5	6	…
\(a_n\)	2	3	5	8	12	17	…
\(b_n\) 階差	1	2	3	4	5	6	…

\(n\)	1	2	3	4	…	\(n-1\)	\(n\)
\(a_n\)	\(a_1\)	\(a_2\)	\(a_3\)	\(a_4\)	…	\(a_{n-1}\)	\(a_{n}\)
階差	\(a_2-a_1\)	\(a_3-a_2\)	\(a_4-a_3\)	\(a_5-a_4\)	…	\(a_{n}-a_{n-1}\)	\(a_{n+1}-a_n\)	番号注意
	∥	∥	∥	∥	…	∥	∥
\(b_n\)	\(b_1\)	\(b_2\)	\(b_3\)	\(b_4\)	…	\(b_{n-1}\)	\(b_{n}\)	番号注意

私たちの，数列の問題での大きな目標は
項間関係(漸化式)から一般項を求めることと，
その数列の和を求めることである。

高校なら，一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。

逐次的(successive)計算
\(a_{2}=a_{1}+b_{1}\)
\(a_{3}=a_{2}+b_{2}=a_{1}+b_{1}+b_{2}\)
\(a_{4}=a_{3}+b_{3}=a_{1}+b_{1}+b_{2}+b_{3}\)
\(a_{5}=a_{4}+b_{4}=a_{1}++b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}\)
…
\(\displaystyle{a_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\)

帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
\(a_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}\)
\(a_{n-1}=a_{n-2}+b_{n-2}\), \(a_{n}=a_{n-2}+b_{n-2}+b_{n-1}\)
\(a_{n-2}=a_{n-3}+b_{n-3}\), \(a_{n}=a_{n-3}+b_{n-3}+b_{n-2}+b_{n-1}\)
…
\(a_{3}=a_{2}+b_{2}\), \(a_{n}=a_{2}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n-2}+b_{n-1}\)
\(a_{2}=a_{1}+b_{1}\), \(\displaystyle{a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\)

\(a_{2}-a_{1}=b_{1}\)
\(a_{3}-a_{2}=b_{2}\)
\(a_{4}-a_{3}=b_{3}\)
\(a_{5}-a_{4}=b_{4}\)
…
\(a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}\)
両辺それぞれ合計を取る。
\(\displaystyle{a_{n}-a_{1}=\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\)
すなわち，\(\displaystyle{a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\)

n ≧ 2 とする。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\) \(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)}\) \(=\displaystyle{\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}\right)-\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\right)}\)
\(=\displaystyle{\left(\sum_{k=2}^{n}a_{k}\right)-\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\right)}\) \(=a_n-a_1\)
すなわち，\(\displaystyle{a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\)

2		3		5		8		12		17	…
	╲╱		╲╱		╲╱		╲╱		╲╱		…
	1		2		3		4		5		…