MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
SVGファイルはFirefox Chrome Operaなどでご覧ください
数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
図形と並ぶ，数学で取り扱う基本的な事柄だと思う。
数列1
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
| an |
3 |
6 |
12 |
24 |
… |
この手の，項の間の関係に規則性があるような場合，
その規則を見つけるのはどうすればよいだろうか。
また，小学校と違い，高校では式を使って記述することが，
発達段階において相応しい方法であると考える。
規則を見抜くには，隣どうしの項の比を取ってみる。
数式で表すことも大切で，
\(a_2/a_1=2\)
\(a_3/a_2=2\)
\(a_4/a_3=2\)
\(a_5/a_4=2\)
\(a_6/a_5=2\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
| an |
2 |
5 |
8 |
11 |
… |
| 比 |
2 |
2 |
2 |
2 |
… |
隣接項の比が一定のものを等比数列といい，
その比を公比という。
すなわち，数列\(\{a_n\}\)が等比数列である⇔\(a_{n+1}/a_n=r\) (\(n\)に依らず一定)
私たちの，数列の問題での大きな目標は
項間関係(漸化式)から一般項を求めることと，
その数列の和を求めることである。
高校なら，一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。
漸化式\(a_{n+1}/a_n=r\) すなわち，\(a_{n+1}=ra_n\)
逐次的(successive)計算
\(a_{2}=a_{1}r\)
\(a_{3}=a_{2}r=a_{1}r^2\)
\(a_{4}=a_{3}r=a_{1}r^3\)
\(a_{5}=a_{4}r=a_{1}r^4\)
…
\(a_{n}=a_{n-1}r=a_{1}r^{n-1}\)
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
\(a_{n}=a_{n-1}r\)
\(a_{n-1}=a_{n-2}r\), \(a_{n}=a_{n-2}r^2\)
\(a_{n-2}=a_{n-3}r\), \(a_{n}=a_{n-3}r^3\)
…
\(a_{3}=a_{2}r\), \(a_{n}=a_{2}r^{n-2}\)
\(a_{2}=a_{1}r\), \(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\)
\(a_{2}/a_{1}=r\)
\(a_{3}/a_{2}=r\)
\(a_{4}/a_{3}=r\)
\(a_{5}/a_{4}=r\)
…
\(a_{n}/a_{n-1}=r\)
両辺それぞれ積を取る。
\(a_{n}/a_{1}=r^{n-1}\)
すなわち，\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\)
表では
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(n\) |
| an |
\(a_1\) |
\(a_1r\) |
\(a_1r^2\) |
\(a_1r^3\) |
… |
\(a_1r^{n-1}\) |
| 比 |
r |
r |
r |
r |
… |
r |