どこかでみたような問題を解いていく。
この問題は解説を読む前に解いてみないと価値がない。
点Oを中心とする半径3の円Oと，
点Oを通り，点Pを中心とする半径1の円Pを考える。
円Pと点Oにおける
接線と
円Oとの交点をA, Bとする。
問題を解いていくときのつぶやきって大切である。
A, Bは円Oの円周上の点だから線分ABは円の
弦か。
中心を通る弦だから円Oの直径か。
センターの問題は独特で，
特に図形の問題は，このように一文一文，
図形に構造が設定されていく。
また，円Oの周上に，点Bと異なる点Cを，
弦ACが円Pに
接する
ようにとる。
弦ACと円Pの接点をDとする。
この問題はまず，図をかくことからはじめる。
次のような図がかけただろうか。
手本がないとできないものである。
普段の経験と自ら問題に臨む姿勢が問われている。
また，つぶやく。
まず，線分APの長さを求めよといわれている。
弦ABはOで円Pに
接している
のだから，三角形AOP は ∠ AOP が直角の
直角三角形である。
AO=3, OP=1,
ピタゴラスの定理より，
\({\rm AP}=\sqrt{10}\)
線分ODの長さの求め方はたくさんある。
K君は相似だといっていた。
OD と AP の交点を H とでもすると，
(ひとにちゃんと説明するというのは大切である。
こんな具合に文字を設定しながら)
三角形OAD, OPD はともに
二等辺三角形だから
AP は OD の
垂直二等分線である。
(四角形AOPD は
凧型である)
)ゆえに，三角形AOHとAPOは相似な
直角三角形である。
\(\sin\angle{\rm OAP}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\) より，
\({\rm OH}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\), ゆえに \({\rm OD}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\)
三角比の定義を繰り返し用いている。
H氏は面積もいいねといっていた。
同じように，
AP は OD の
垂直二等分線であることを用いる。
三角形AOP の面積は\(\dfrac{3}{2}\)である。
AP を底辺にとって，高さを求めるとそれは OD の長さの半分である。
四角形AOPD が
凧型であることを，使ってもよい。
最初思いついたのは2倍角の公式の利用である。
やはり，
三角形OAD, OPD はともに
二等辺三角形であること
に注目する。
\(\cos\angle{\rm OAP}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) より，
\(\cos\angle{\rm OAD}=2\cdot\dfrac{9}{10}-1=\dfrac{4}{5}\)
三角形OAD に
余弦定理を用いて，ODの長さを得る。
\({\rm OD}^2={\rm AO}^2+{\rm AD}^2-{\rm AO}\cdot{\rm AD}\cos\angle{\rm OAD}\)
2倍角の公式は数学IIだから，使わずにできるはず。
四角形OADP(
凧型四角形) は対角の和が2直角であるということに気がついた。
やはり，
三角形OAD, OPD はともに
二等辺三角形であり，
また，三角形OAP, ADP は合同な
直角三角形である。
∠OAD=θ, OD=x と置き，三角形OADとOPDに
余弦定理を用いると，
\(x^2=18-18\cos\theta\), \(x^2=2+2\cos\theta\) で，
ODの長さも cos∠OAD も得ることができる。
長さを先に出したら，cos∠OAD は
三角形OAD に余弦定理を用いて得る。
AB=6, \(\cos\angle{\rm OAD}=\dfrac{4}{5}\) より
三角比の定義より，
\({\rm AC}=\dfrac{24}{5}\)
図形の計量とか，求値問題とかいわれるが，
(計量という用語はちゃんとした数学用語である。
求値問題は受験用語かな。)
そのためには実は図形の構造を
読み取っていくのである。
幾何は数学の中の数学だと感じる瞬間である。
学習の中では，
いろいろなアプローチを考えたほうがよい。
本質に迫ることになるし，
公式や数学の見方・考え方が有機的につながってくる。
図は HTML5 canvas を使って描かせているが，
script を使って自由に描けるようになれば，
幾何のセンスは付いていく思う。
定規とコンパスも大切だが，
21世紀はこんなのが，せっかくの道具である。
scriptも公開しているが，座標の幾何，三角関数，ベクトル，複素数平面，極座標など
有効に使っている。
だから，幾何のセンスが付いてくる。
例えば，図の点Cをとるのには，
\(\cos\angle{\rm BOC}=\cos 2\angle{\rm OAD}=\dfrac{7}{25}\) を使っている。