131201 初版 131201 更新
内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) の定義は
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta\) であった。
正値性
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\)
何気ない式だが，数学的にも意味深い。
ベクトル a の 2乗 なんていったりするが，とんでもない。
ベクトル a に 3乗はない。
対称性
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
気にする人としない人ではセンスが違うかも。
双線型性
\((k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\)
\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)
\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)
後の2つの式は，定義式から導くのは厄介なようで，
成分を経由したほうがいいようである。
このおかげで，文字式と同じように内積の式が展開できる。
文字式と同じようにするのではない。
微妙な違いに気を付けよう。