131201 初版 141010 更新
内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) の定義は
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta\)  であった。

3点 O(0, 0), A(a, b), B(c, d) をとって,
\(\vec{a}=\overrightarrow{\rm OA}\),  \(\vec{b}=\overrightarrow{\rm OB}\),  とおく。
内積と三角形より
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{{\rm OA}^2+{\rm OB}^2-{\rm AB}^2}{2}\)
ここで,
OA2 + OB2 - AB2
= (a2 + b2) + (c2 + d2) - ((c - a)2 + (d - b)2)
= 2(ac + bd)

すなわち,
\(\vec{a}=(a_1, a_2)\),  \(\vec{b}=(b_1, b_2)\) のとき
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
これが,定義だと思ってはいけない。
内積が1次形式になるのが面白い。
一般に, \(\vec{a}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}\),   \(\vec{b}=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}\) とする。
\(\vec{a}\cdot\vec{b}= a_1b_1|\vec{e_1}|^2+ (a_1b_2+a_2b_1)\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}+ a_2b_2|\vec{e_2}|^2\)
成分で表しているということは,
\(\vec{e_1}\), \(\vec{e_2}\) が 単位ベクトルで,垂直であることが効いている。